베이즈 정리

개념들

베이즈 정리(Bayes Theorem)

오즈(Odds)

가능도비(Likelihood Ratios)

두 개의 가설 중 어느 가설이 맞는지를 나타내는 비율로, 특정 증거를 수집할 확률의 비율

베이지안 가설검정

기존의 가설검정은 대립가설을 증명하거나 하지 못하는 경우만 결론으로 제시가능

= 귀무가설이 맞는지 여부에 대해서는 이야기를 할 수 없다

베이즈 인자 (Bayes Factor)

BF=P(Data∣H0) / 1)

귀무가설(H0)과 대립가설(H1), 사이의 증거 강도를 수치로 나타낸것
BF>1인 경우, 데이터는 대립가설을 지지하며, <1인 경우 귀무가설을 지지
각 가설 하에서 관측된 데이터의 가능도비로 정의

베이즈 인자와 가능도비의 차이점은 가능도에 들어있는 모수에 대해서 이 모수의 사전분포를 이용하여 평균을 계산하는 점

→ 사전분포가 베이즈 인자 계산에 중요한 역할

베타 분포

연속 확률 분포의 한 종류로, 두 매개변수 𝛼(알파)와 𝛽 (베타)에 의해 형태가 결정
0과 1 사이의 값을 갖는 변수에 대해 사용되며, 특히 비율이나 확률과 관련된 데이터를 모델링할 때 유용
유연성: 𝛼, 𝛽 값에 따라 매우 다양한 형태를 가질 수 있습니다. 예를 들어, α=β=1일 때는 균등 분포(Uniform distribution)의 형태를 취하고, α>1 및 β>1일 경우에는 종 모양의 분포
매개변수:

𝛼: 성공 또는 긍정적 결과의 “강도” 또는 “수” 𝛽: 실패 또는 부정적 결과의 “강도” 또는 “수”
응용: 베타 분포는 베이지안 통계학에서 사전분포(prior distribution)로 자주 사용, 사전분포가 베타분포 일 시에 사후분포 역시 베타분포

상황 설명: 운동경기에서 도핑 테스트의 정확도는 약 95%로 알려져 있습니다. 이는 테스트의 민감도와 특이도 모두 95%임을 의미
문제: 만약 한 선수의 도핑 테스트 결과가 양성이 나왔을 경우, 실제로 그 선수가 약물을 복용하고 있을 확률은 얼마인가요?
해결: 1000명의 선수에 대한 기대도수나무를 이용해 계산했을 때, 검사 결과가 양성인 경우는 총 68명이며, 이 중 실제로 약물을 복용한 비율은 19/68 = 약 28%

서울시 전체 유병률이 10%이고 5%에서 최대 20%까지 분포하고 있을 때,

관악구에서 20명의 표본을 뽑아서 감염 여부를 조사한 결과 아무도 감염이 된 사람이 없었다.

위의 조사 만으로 관악구의 유병률을 0%라고 추정하는 것은 합리적일까?

베이지안 계층모형 사용